12.01.2026
In
Studia
Wyznaczanie asymptot wykresu funkcji
Wyznaczanie asymptot polega na wyznaczaniu równań prostych, do których zbliża się wykres funkcji, ale nie ma z nimi żadnych punktów wspólnych.
W poniższych przykładach będziemy wyznaczać asymptoty pionowe poziome oraz ukośne, licząc odpowiednie granice.
| – rozwiązanie \(\qquad\) | – komentarz
Przykład 1 (Wyznacz asymptoty funkcji)
\( f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} \)
Asymptoty pionowe:
\( x^2+1>0 \ \text{dla każdego}\ x\in\mathbb{R} \)
\( \sqrt{x^2+1}\neq 0 \)
Nie wykluczyliśmy nic z dziedziny.
Brak asymptot pionowych.
Asymptota pozioma w \( +\infty \) :
\( \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} =\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\sqrt{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}}=\)
\( =\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=\)
\(=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+0}}=1 \)
\( y=1 \)
Asymptota pozioma w \( -\infty \):
\( \lim_{x\to-\infty}\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x}{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} \)
\( =\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x}{-x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{-1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}\)
\(=\dfrac{-1}{\sqrt{1+0}}=-1 \)
\( y=-1 \)
W liczeniu tych granic opuszczamy wartość bewzględną
w zależności od znaku nieskończoności, do której zmierza x.
Przykład 2 (Wyznacz asymptoty funkcji)
\( f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1} \)
Asymptoty pionowe:
\( x-1\neq0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 1 \)
\( \lim_{x\to1^+}\dfrac{x^2+1}{x-1} = [\frac{2}{0^+}] = +\infty\)
\( \lim_{x\to1^-}\dfrac{x^2+1}{x-1} = [\frac{2}{0^-}] = -\infty\)
Asymptota pionowa obustronna:
\( x=1 \)
Asymptoty poziome:
\( \lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2+1}{x-1} = \lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2+1}{x-1} = \)
\(= \lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2(1 + \frac{1}{x^2})}{x(1 – \frac{1}{x})} = \lim_{x\to\infty}\dfrac{x(1 + \frac{1}{x^2})}{(1 – \frac{1}{x})} = \infty \)
\( \lim_{x\to-\infty}\dfrac{x(1 + \frac{1}{x^2})}{(1 – \frac{1}{x})} = -\infty \)
Asymptoty poziome nie istnieją
Dlatego wyznaczamy asymptotę ukośną
Asymptota ukośna to prosta: y = ax + b,
gdzie \( a = \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} \quad\) i \(\quad b = \lim_{x\to\infty}(f(x) – ax) \)
Asymptota ukośna:
\( a=\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x} =\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2+1}{x(x-1)} =\)
\(=\lim_{x\to\infty}\dfrac{1+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{1}{x}}=1\)
\( b=\lim_{x\to\infty}\bigl(f(x)-ax\bigr) =\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{x^2+1}{x-1}-x\right) \)
\( =\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2+1-x(x-1)}{x-1} =\lim_{x\to\infty}\dfrac{x+1}{x-1}=1 \)
\( y=x+1 \)