12.01.2026
In
Studia
Ciągłość funkcji z parametrem
Badając ciągłość funkcji musimy najpierw zastanowić się w jakich punktach funkcja może być nieciągła. Następnie sprawdzamy czy wartości funkcji zbiegają do odpowiednich wartości w wyznaczonych wcześniej punktach. W poniższym przykładzie będziemy tak wyznaczać wartości parametru, aby powyższa zależność zachodziła.
| – rozwiązanie \(\qquad\) | – komentarz
Przykład (Dobierz wartości parametrów a i b, tak aby funkcja była ciągła na \( \mathbb{R} \))
$$
f(x)=
\left\{
\begin{array}{ll}
a^{\frac{1-\cos 2x}{4x^2}} & \text{dla } x<0,\\
bx+1 & \text{dla } x\in[0,1],\\
\frac{x^4-x}{x-1} & \text{dla } x>1.
\end{array}
\right.
$$
f(x)=
\left\{
\begin{array}{ll}
a^{\frac{1-\cos 2x}{4x^2}} & \text{dla } x<0,\\
bx+1 & \text{dla } x\in[0,1],\\
\frac{x^4-x}{x-1} & \text{dla } x>1.
\end{array}
\right.
$$
Funkcja f jest ciągła na przedziale \( (-\infty, 0) \) jako iloraz funkcji elementarnych
Funkcja f jest ciągła na przedziale \( (0,1) \) jako funkcja elementarna
Funkcja f jest ciągła na przedziale \( (1, \infty) \) jako iloraz funkcji elementarnych
Jedyne miejsca gdzie funkcja może nie być ciągła to :
\( x = 0 \quad \) i \( \quad x = 1 \)
\( \lim_{x\to0^+}f(x) = \lim_{x\to0^+}(bx + 1) = 1 \)
\( f(0) = 1 \)
\( \lim_{x\to0^-}f(x) = \lim_{x\to0^-}a \cdot \frac{1-\cos 2x}{4x^2} = \)
\( =a \cdot \lim_{x\to0^-}\frac{1 – (1 – 2\sin^2x)}{4x^2} = a \cdot \lim_{x\to0^-}\frac{2\sin^2x}{4x^2} \)
Będziemy chcieli skorzystać z tego, że
\( \lim_{x\to0^-}\frac{\sin x}{x} = 1 \)
\( = a \cdot \lim_{x\to0^-}\frac{2}{4}\cdot (\frac{\sin x}{x})^2 = a \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}a \)
Funkcja f jest ciągła w 0 jeśli:
\( \frac{1}{2}a = 1 \quad \Rightarrow \quad a = 2 \)
\( \lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to1^-}(bx + 1) = b + 1 \)
\( f(0) = b + 1 \)
\( \lim_{x\to1^+}f(x) = \lim_{x\to1^+}\frac{x^4-x}{x-1} = \)
\( =\lim_{x\to1^+}\frac{x\cdot(x^3-1)}{x-1} = \lim_{x\to1^+}\frac{x\cdot(x-1)(x^2+x+1)}{x-1} = \)
\( =\lim_{x\to1^+}x \cdot (x^2 + x + 1) = 1 \cdot 3 = 3 \)
Funkcja f jest ciągła w 1 jeśli:
\( b + 1 = 3 \qquad b = 2 \)