03.12.2025
In
Studia
Wykazywanie, że granica funkcji nie istnieje z definicji Heinego
Definicja granicy funkcji Heinego oznacza, że granica $\lim_{x \to a} f(x)$ istnieje wtedy jeśli po wstawieniu za x dowolnego ciągu $x_n$, który zmierza do $a$ otrzymamy tę samą granicę funkcji niezależnie od wybranego ciągu.
Przykład 1 (Uzasadnij, że podana granica nie istnieje)
$\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$
Musimy teraz znaleźć 2 różne ciągi, zmierzające do 0 (bo x zmierza do 0), ale takie, żeby po wstawieniu tych ciągów za x otrzymać dwie różne granice. Z tego będzie wynikać, że nie dla każdego takiego ciągu granica jest taka sama.
$x_n = \frac{1}{n} \qquad \qquad \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \quad$ ciąg zmierza do 0, tak jak x
$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{|\frac{1}{n}|}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = 1$
$y_n = -\frac{1}{n} \qquad \qquad \lim_{n \to \infty} -\frac{1}{n} = 0 \quad$ ciąg zmierza do 0, tak jak x
$\lim_{n \to \infty} f(y_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{|-\frac{1}{n}|}{-\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{-\frac{1}{n}} = -1$
$\lim_{n \to \infty} f(x_n) \neq \lim_{n \to \infty} f(y_n)$
Z definicji granicy Funkcji Heinego granica nie istnieje. $\\[15pt]$
Przykład 2 (Uzasadnij, że podana granica nie istnieje) $\\[10pt]$
$\lim_{x \to -\infty} {\sin 2x}$ $\\[15pt]$
Niech : $\\[10pt]$
$x_n = \frac{\pi}{12} – n\pi \qquad$ i $\qquad y_n = \frac{\pi}{6} – n\pi$ $\\[10pt]$
Wtedy : $\\[10pt]$
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} (\frac{\pi}{12} – n\pi) = -\infty$ ciąg zmierza do – nieskończoności, tak jak x $\\[10pt]$
$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} (\frac{\pi}{6} – n\pi) = -\infty$ ciąg zmierza do – nieskończoności, tak jak x $\\[10pt]$
Stąd : $\\[10pt]$
$2 \cdot x_n = \frac{\pi}{6} – 2n\pi \qquad$ i $\qquad 2 \cdot y_n = \frac{\pi}{3} – 2n\pi$ $\\[10pt]$
Wybierając ciągi korzystamy z tego że funkcja sin powtarza się co 2$\pi$. Stąd każdy wyraz ciągu $x_n$ wstawiony za x do funkcji sin 2x daje
wynik $\sin{\frac{\pi}{6}}$, a każdy wyraz ciągu $y_n$ daje wynik $\sin{\frac{\pi}{3}}$ $\\[10pt]$
$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} {(\sin (\frac{\pi}{6} – 2n\pi))} = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ $\\[10pt]$
$\lim_{n \to \infty} f(y_n) = \lim_{n \to \infty} {(\sin (\frac{\pi}{3} – 2n\pi))} = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\\[10pt]$
$\lim_{n \to \infty} f(x_n) \neq \lim_{n \to \infty} f(y_n)$ $\\[10pt]$
Z definicji granicy Funkcji Heinego granica nie istnieje. $\\[10pt]$
Przykład 3 (Uzasadnij, że podana granica nie istnieje) $\\[10pt]$
$\lim_{x \to 0^{-}} \cos \frac{1}{x^3}$ $\\[10pt]$
Niech : $\\[10pt]$
$x_n = \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{\pi}{2}-n\pi}} \qquad$ i $\qquad y_n = \frac{1}{\sqrt[3]{-2n\pi}}$ $\\[10pt]$
Wtedy : $\\[10pt]$
$\lim_{n \to\infty} x_n = \lim_{n \to\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{\pi}{2}-n\pi}} = 0$ $\\[10pt]$
$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[3]{-2n\pi}} = 0$ $\\[10pt]$
ciągi zmierzają do 0 i zbliżamy się do tego 0 z lewej strony od liczb ujemnych tak jak zmierza x $\\[10pt]$
$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} {(\cos (\frac{\pi}{2}-n\pi))} = \cos \frac{\pi}{2} = 0$ $\\[10pt]$
$\lim_{n \to \infty} f(y_n) = \lim_{n \to \infty} {(\cos (-2n\pi))} = \cos 0 = 1$ $\\[10pt]$
$\lim_{n \to \infty} f(x_n) \neq \lim_{n \to \infty} f(y_n)$ $\\[10pt]$