14.09.2026
In
Matura rozszerzona
Czy da się zdać test, zaznaczając odpowiedzi losowo?
Wyobraźmy sobie test składający się z 25 pytań. Każde pytanie ma 4 możliwe odpowiedzi, z których tylko jedna jest poprawna. Uczeń nie zna odpowiedzi i dlatego zaznacza je całkowicie losowo.
Aby zdać test, musi uzyskać co najmniej 60% punktów możliwych do zdobycia.
Zakładamy, że wszystkie pytania mają taką samą wartość punktową,
1. Sposób pierwszy, klasyczna definicja prawdopodobieństwa.
Na początku ustalmy, ile poprawnych odpowiedzi jest potrzebnych do zaliczenia. Skoro test ma 25 zadań, a próg zaliczenia wynosi 60%, to:
$$25\cdot 0{,}6=15.$$
Uczeń musi więc uzyskać co najmniej 15 poprawnych odpowiedzi.
$$25\cdot 0{,}6=15.$$
Uczeń musi więc uzyskać co najmniej 15 poprawnych odpowiedzi.
Na każde z 25 pytań uczeń może zaznaczyć jedną z 4 odpowiedzi. Liczba wszystkich możliwych sposobów rozwiązania testu jest zatem równa:
$$|\Omega|=4^{25}.$$
Niech $A$ będzie zdarzeniem polegającym na zaznaczeniu przez ucznia co najmniej 15 poprawnych odpowiedzi. Rozważmy sytuację, w której uczeń uzyskuje dokładnie $k$ poprawnych odpowiedzi.
$$|\Omega|=4^{25}.$$
Niech $A$ będzie zdarzeniem polegającym na zaznaczeniu przez ucznia co najmniej 15 poprawnych odpowiedzi. Rozważmy sytuację, w której uczeń uzyskuje dokładnie $k$ poprawnych odpowiedzi.
Najpierw wybieramy, które $k$ spośród 25 zadań będą rozwiązane poprawnie:
$$\binom{25}{k}.$$
Pozostałe $25-k$ odpowiedzi muszą być błędne. Każde z tych pytań ma 3 możliwe błędne odpowiedzi, więc liczba takich możliwości jest równa:
$$3^{25-k}.$$
Dla dokładnie $k$ poprawnych odpowiedzi otrzymujemy więc:
$$\binom{25}{k}3^{25-k}$$
możliwości zaznaczenia odpowiedzi na teście.
$$\binom{25}{k}.$$
Pozostałe $25-k$ odpowiedzi muszą być błędne. Każde z tych pytań ma 3 możliwe błędne odpowiedzi, więc liczba takich możliwości jest równa:
$$3^{25-k}.$$
Dla dokładnie $k$ poprawnych odpowiedzi otrzymujemy więc:
$$\binom{25}{k}3^{25-k}$$
możliwości zaznaczenia odpowiedzi na teście.
Ponieważ zdać można przy co najmniej 15-tu poprawnych odpowiedziach, rozpatrujemy kolejno przypadki, w których uczeń uzyskuje dokładnie 15, 16, …, aż do 25 poprawnych odpowiedzi.
Dla dokładnie 15 poprawnych odpowiedzi liczba możliwości wynosi:
$$\binom{25}{15}3^{10}.$$
Dla dokładnie 16 poprawnych odpowiedzi:
$$\binom{25}{16}3^9.$$
Analogicznie postępujemy dla kolejnych wartości $k$, aż do 25 poprawnych odpowiedzi. Łączna liczba wyników sprzyjających zdaniu wynosi więc:
$$\begin{aligned}
|A|={}&
\binom{25}{15}3^{10}
+\binom{25}{16}3^9
+\binom{25}{17}3^8
+\ldots
+\binom{25}{25}3^0.
\end{aligned}$$
Powyższy zapis jest równoważny krótszemu zapisowi z wykorzystaniem sumy:
$$|A|=\sum_{k=15}^{25}\binom{25}{k}3^{25-k}.$$
Korzystając z klasycznej definicji prawdopodobieństwa:
$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|},$$
otrzymujemy:
$$P(A)=
\frac{
\displaystyle\sum_{k=15}^{25}
\binom{25}{k}3^{25-k}
}{
4^{25}
}.$$
Po obliczeniu:
$$P(A)\approx0{,}0002145.$$
$$\binom{25}{15}3^{10}.$$
Dla dokładnie 16 poprawnych odpowiedzi:
$$\binom{25}{16}3^9.$$
Analogicznie postępujemy dla kolejnych wartości $k$, aż do 25 poprawnych odpowiedzi. Łączna liczba wyników sprzyjających zdaniu wynosi więc:
$$\begin{aligned}
|A|={}&
\binom{25}{15}3^{10}
+\binom{25}{16}3^9
+\binom{25}{17}3^8
+\ldots
+\binom{25}{25}3^0.
\end{aligned}$$
Powyższy zapis jest równoważny krótszemu zapisowi z wykorzystaniem sumy:
$$|A|=\sum_{k=15}^{25}\binom{25}{k}3^{25-k}.$$
Korzystając z klasycznej definicji prawdopodobieństwa:
$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|},$$
otrzymujemy:
$$P(A)=
\frac{
\displaystyle\sum_{k=15}^{25}
\binom{25}{k}3^{25-k}
}{
4^{25}
}.$$
Po obliczeniu:
$$P(A)\approx0{,}0002145.$$
Inaczej mówiąc, szansa na to, że uczeń zaznaczający wszystkie odpowiedzi całkowicie losowo zda wspomniany test, wynosi około
$$1\text{ na }4664.$$
$$1\text{ na }4664.$$
2. Sposób drugi, schemat Bernouliego.
To zadanie możemy również rozwiązać znacznie szybciej, wykorzystując schemat Bernoulliego.
Każde pytanie traktujemy jako pojedynczą próbę, w której mamy dwa możliwe wyniki:
– sukces, w przypadku gdy uczeń zaznaczy poprawną odpowiedź,
– porażkę, w przypadku gdy uczeń zaznaczy błędną odpowiedź.
– sukces, w przypadku gdy uczeń zaznaczy poprawną odpowiedź,
– porażkę, w przypadku gdy uczeń zaznaczy błędną odpowiedź.
Prawdopodobieństwo sukcesu wynosi:
$$p=\frac14,$$
natomiast prawdopodobieństwo porażki:
$$q=1-p=\frac34.$$
Liczba prób wynosi:
$$n=25.$$
Niech $S_{25}^k$ oznacza zdarzenie polegające na tym, że wśród dwudziestu pięciu losowo wybranych odpowiedzi znajduje się dokładnie $k$ odpowiedzi poprawnych, gdzie
$$k\in\{0,1,\ldots,25\}.$$
Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie $k$ poprawnych odpowiedzi w $25$ niezależnych próbach opisuje wzór Bernoullego:
$$P(S_{25}^k)=\binom{25}{k}p^kq^{25-k}.$$
W naszym przypadku $n=25$, $p=\frac14$, a $q=\frac34$, dlatego:
$$P(S_{25}^k)=
\binom{25}{k}
\left(\frac14\right)^k
\left(\frac34\right)^{25-k}.$$
Ponieważ do zdania potrzebne jest co najmniej 15 poprawnych odpowiedzi, rozpatrujemy kolejno przypadki, w których uczeń uzyskuje dokładnie 15, 16, …, aż do 25 poprawnych odpowiedzi.
$$p=\frac14,$$
natomiast prawdopodobieństwo porażki:
$$q=1-p=\frac34.$$
Liczba prób wynosi:
$$n=25.$$
Niech $S_{25}^k$ oznacza zdarzenie polegające na tym, że wśród dwudziestu pięciu losowo wybranych odpowiedzi znajduje się dokładnie $k$ odpowiedzi poprawnych, gdzie
$$k\in\{0,1,\ldots,25\}.$$
Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie $k$ poprawnych odpowiedzi w $25$ niezależnych próbach opisuje wzór Bernoullego:
$$P(S_{25}^k)=\binom{25}{k}p^kq^{25-k}.$$
W naszym przypadku $n=25$, $p=\frac14$, a $q=\frac34$, dlatego:
$$P(S_{25}^k)=
\binom{25}{k}
\left(\frac14\right)^k
\left(\frac34\right)^{25-k}.$$
Ponieważ do zdania potrzebne jest co najmniej 15 poprawnych odpowiedzi, rozpatrujemy kolejno przypadki, w których uczeń uzyskuje dokładnie 15, 16, …, aż do 25 poprawnych odpowiedzi.
Dla dokładnie 15 poprawnych odpowiedzi prawdopodobieństwo wynosi:
$$\binom{25}{15}
\left(\frac14\right)^{15}
\left(\frac34\right)^{10}.$$
Dla dokładnie 16 poprawnych odpowiedzi:
$$\binom{25}{16}
\left(\frac14\right)^{16}
\left(\frac34\right)^9.$$
Analogicznie postępujemy dla kolejnych wartości $k$, aż do 25 poprawnych odpowiedzi. Zatem:
$$\begin{aligned}
P={}&
\binom{25}{15}
\left(\frac14\right)^{15}
\left(\frac34\right)^{10}
+
\binom{25}{16}
\left(\frac14\right)^{16}
\left(\frac34\right)^9\\
&+
\binom{25}{17}
\left(\frac14\right)^{17}
\left(\frac34\right)^8
+\ldots+
\binom{25}{25}
\left(\frac14\right)^{25}
\left(\frac34\right)^0.
\end{aligned}$$
$$\binom{25}{15}
\left(\frac14\right)^{15}
\left(\frac34\right)^{10}.$$
Dla dokładnie 16 poprawnych odpowiedzi:
$$\binom{25}{16}
\left(\frac14\right)^{16}
\left(\frac34\right)^9.$$
Analogicznie postępujemy dla kolejnych wartości $k$, aż do 25 poprawnych odpowiedzi. Zatem:
$$\begin{aligned}
P={}&
\binom{25}{15}
\left(\frac14\right)^{15}
\left(\frac34\right)^{10}
+
\binom{25}{16}
\left(\frac14\right)^{16}
\left(\frac34\right)^9\\
&+
\binom{25}{17}
\left(\frac14\right)^{17}
\left(\frac34\right)^8
+\ldots+
\binom{25}{25}
\left(\frac14\right)^{25}
\left(\frac34\right)^0.
\end{aligned}$$
Powyższy zapis jest równoważny krótszemu zapisowi z wykorzystaniem sumy:
$$P=
\sum_{k=15}^{25}
\binom{25}{k}
\left(\frac14\right)^k
\left(\frac34\right)^{25-k}.$$
Otrzymujemy:
$$P\approx0{,}0002145,$$
a więc dokładnie ten sam wynik, co wcześniej.
$$P=
\sum_{k=15}^{25}
\binom{25}{k}
\left(\frac14\right)^k
\left(\frac34\right)^{25-k}.$$
Otrzymujemy:
$$P\approx0{,}0002145,$$
a więc dokładnie ten sam wynik, co wcześniej.
Podsumowanie
Jeśli uczeń nie zna żadnej odpowiedzi na wspomnianym teście i zaznacza je losowo, szansa na jego zdanie wynosi zaledwie
$$\color{#d4a33a}{\mathbf{1}}\color{black}{\text{ na }}\color{#d4a33a}{\mathbf{4664}}\color{black}{.}$$
$$\color{#d4a33a}{\mathbf{1}}\color{black}{\text{ na }}\color{#d4a33a}{\mathbf{4664}}\color{black}{.}$$
Wynik pokazuje więc, jak niewielką rolę w zdaniu testu odgrywa przypadek. Choć losowe zaznaczenie wszystkich odpowiedzi może zakończyć się sukcesem, szansa na taki wynik jest niewielka.